当对医疗事故分级存在争议时，可按以下方式申请重新鉴定和认定：

1.确定申请时间：当事人对首次医疗事故技术鉴定结论不服的，应自收到首次鉴定结论之日起 15 日内提出再次鉴定申请。

2.选择申请途径：可以向原受理医疗事故争议处理申请的卫生行政部门提出再次鉴定的申请，也可由双方当事人共同委托省、自治区、直辖市医学会组织再次鉴定。

3.提交申请材料：需提交再次鉴定申请书，详细说明不服首次鉴定结论的理由等相关材料。

4.配合鉴定工作：医学会接到申请后，会依照相关规定组织专家进行再次鉴定。医患双方应按规定提交进行医疗事故技术鉴定所需要的材料，并积极配合调查。

5.等待鉴定结果：专家鉴定组会认真审查材料，听取陈述及答辩并进行核实，依据事实和医学专业知识给出鉴定结论。

    需注意，再次鉴定结论为最终鉴定结论，若对其仍有异议，可通过民事诉讼等合法途径进一步维护自身权益。

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