劳务派遣员工与用工单位发生劳动争议，可通过以下方式处理：

协商解决：争议发生后，劳务派遣员工可与用工单位直接沟通，就争议事项进行协商，明确双方的权利和义务，尝试寻求双方都能接受的解决方案。若能达成一致，可签订书面协议，以确保协议的履行。
申请调解：如果协商不成，劳务派遣员工可以向劳务派遣单位所在地或者用工单位所在地的劳动争议调解组织申请调解，如企业劳动争议调解委员会、基层人民调解组织等。调解组织会依据相关法律法规和政策，帮助双方沟通协调，促使争议得到解决。
劳动仲裁：若调解不成，劳动者可以在规定的时效内（一般为一年）向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。劳动仲裁是解决劳动争议的重要法定程序，仲裁委员会会根据双方提供的证据和相关法律法规进行裁决。需要注意的是，劳动者在申请仲裁时，应明确被申请人，一般情况下，劳务派遣单位和用工单位为共同被申请人。
提起诉讼：对劳动仲裁裁决不服的，劳动者可以在规定的期限内（一般为 15 天）向人民法院提起诉讼。人民法院会对劳动争议案件进行审理，作出最终的判决。在诉讼过程中，劳动者要提供充分的证据来支持自己的诉求。

在处理劳动争议过程中，劳务派遣员工应注意保留相关证据，如劳动合同、工资发放记录、工作考勤、工作记录、加班申请单、同事证言等，以维护自身的合法权益。